Question

10．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，E，F，G為 AB，AA₁，A₁C₁的中點，則B₁F與面GEF成角的正弦值（　�。�

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{10}$
• D． $\frac{3\sqrt{6}}{10}$

Answer 1

分析 利用等體積，計算B₁到平面EFG距離，再利用正弦函數，可求B₁F 與面GEF成角的正弦值．

解答 解：取A₁B₁中點M，連接EM，則EM∥AA₁，EM⊥平面ABC，連接GM
∵G為A₁C₁的中點，棱長為
∴GM=$\frac{1}{2}$B₁C₁=1，A₁G═A₁F=1，FG=$\sqrt{2}$，FE=$\sqrt{2}$，GE=$\sqrt{5}$，
在平面EFG上作FN⊥GE，則∵△GFE是等腰三角形，∴FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△GEF=$\frac{1}{2}$GE×FN=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
${S}_{△EF{B}_{1}}$=${S}_{正方形AB{B}_{1}{A}_{1}}$-${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}F}$-${S}_{△B{B}_{1}E}$-S_△AFE=$\frac{3}{2}$，
作GH⊥A₁B₁，GH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{三棱錐G-FE{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$${S}_{△EF{B}_{1}}$×GH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
設B₁到平面EFG距離為h，則${V}_{三棱錐{B}_{1}-EFG}$=$\frac{h}{3}$S_△GEF=$\frac{\sqrt{15}h}{12}$，
∵${V}_{三棱錐G-FE{B}_{1}}$=${V}_{三棱錐{B}_{1}-EFG}$，
∴$\frac{\sqrt{15}h}{12}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴h=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
設B₁F與平面GEF成角為θ，
∵B₁F=$\sqrt{5}$
∴sinθ=$\frac{h}{{B}_{1}F}$=$\frac{3}{5}$，
∴B₁F與面GEF所成的角的正弦值為$\frac{3}{5}$．
故選B．

點評 本題考查線面角，考查三棱錐的體積計算，考查轉化思想，解題的關鍵是利用等體積計算點到面的距離．