Question

已知點C(1,0)，點A、B是⊙O：x²＋y²＝9上任意兩個不同的點，且滿足＝0，設(shè)P為弦AB的中點．

(1)求點P的軌跡T的方程；

(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點：它到直線x＝－1的距離恰好等于到點C的距離？若存在，求出這樣的點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

 (1)法一：連接CP，由＝0知，AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，

由垂徑定理知|OP|²＋|AP|²＝|OA|²，即|OP|²＋|CP|²＝9，

設(shè)點P(x，y)，有(x²＋y²)＋[(x－1)²＋y²]＝9，

化簡得，x²－x＋y²＝4.

法二：設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x，y)，

根據(jù)題意知，x＋y＝9，x＋y＝9,2x＝x₁＋x_2,2y＝y₁＋y₂，

∴4x²＝x＋2x₁x₂＋x，4y²＝y＋2y₁y₂＋y，

故4x²＋4y²＝(x＋y)＋(2x₁x₂＋2y₁y₂)＋(x＋y)＝18＋2(x₁x₂＋y₁y₂)，①

又∵＝0，∴(1－x₁，－y₁)·(1－x₂，－y₂)＝0，

∴(1－x₁)×(1－x₂)＋y₁y₂＝0，故x₁x₂＋y₁y₂＝(x₁＋x₂)－1＝2x－1，

代入①式得，4x²＋4y²＝18＋2(2x－1)，

化簡得，x²－x＋y²＝4.

(2)根據(jù)拋物線的定義，到直線x＝－1的距離等于到點C(1,0)的距離的點都在拋物線y²＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故拋物線方程為y²＝4x，

由方程組得，x²＋3x－4＝0，

解得x₁＝1，x₂＝－4，

由于x≥0，故取x＝1，此時y＝±2，

故滿足條件的點存在，其坐標為(1，－2)和(1,2)．