Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，O為AC與BD的交點(diǎn)，AB^平面PAD，△PAD是正三角形，  
DC//AB，DA＝DC＝2AB.
（1）若點(diǎn)E為棱PA上一點(diǎn)，且OE∥平面PBC，求的值；
（2）求證：平面PBC^平面PDC.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析;（2）詳見(jiàn)解析．

解析試題分析： （1）由題中所給條件，不難聯(lián)想到要運(yùn)用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理將線(xiàn)面平行轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行，即由所以，再結(jié)合平面幾何的知識(shí)易得：結(jié)合比例線(xiàn)段關(guān)系即可求得;（2）中要證明面面垂直，根據(jù)面面垂直的判定定理可轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直，由題中的數(shù)量關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)取的中點(diǎn)，連結(jié)，運(yùn)用解三角形的知識(shí)算出，問(wèn)題即可得證．
試題解析： （1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/00/8/zsnbr.png" style="vertical-align:middle;" />所以，
所以．                       3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1c/9/52iku1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
所以．                                   6分
（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/78/0/1i6rw3.png" style="vertical-align:middle;" />是正三角形，，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a1/1/1ezms2.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，所以.              8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/de/8/yghyz1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/25/8/1y2ry3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
設(shè)，在等腰直角三角形中，．
在中，．
在直角梯形中，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/69/a/eapba2.png" style="vertical-align:middle;" />，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，所以．
在中，．                    
在中，由，可知，所以．
12分
由，所以．
又，所以平面   14分
考點(diǎn)：1.線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理;2.面面垂直的判定定理;3.平面幾何中的計(jì)算