Question

11．三棱錐P-ABC中，PA=4，∠PBA=∠PCA=90°，△ABC是邊長為2的等邊三角形，則三棱錐P-ABC的外接球球心到平面ABC的距離是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)棱錐的特征可知PA為外接球的直徑，再利用正四面體的結構特征求出正四面體的高．

解答 解：∵∠PBA=∠PCA=90°，∴PA的中點O為三棱錐P-ABC的外接球球心，
∴三棱錐O-ABC是棱長為2的正四面體，
過O作OM⊥平面ABC，垂足為M，連接BM并延長BM交AC于D，則D為AC的中點，
∴OD=BD=$\sqrt{3}$，MD=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OM=$\sqrt{O{D}^{2}-M{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了棱錐與外接球的位置關系，屬于中檔題．