Question

【題目】對于項數(shù)為（）的有窮正整數(shù)數(shù)列,記（），即為中的最大值，稱數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”.比如的“創(chuàng)新數(shù)列”為.

（1）若數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”為1,2,3,4,4，寫出所有可能的數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”，滿足（），求證： （）；

（3）設(shè)數(shù)列為數(shù)列的“創(chuàng)新數(shù)列”，數(shù)列中的項互不相等且所有項的和等于所有項的積，求出所有的數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）創(chuàng)新數(shù)列為1,2,3,4,4的所有數(shù)列，可知其首項是1，第二項是2，第三項是3，第四項是4，第五項是1或2或3或4，可寫出；（2）由題意易得， ，從而可得，整理即證得結(jié)論；（3）驗證當(dāng)時，不滿足題意，當(dāng)時，根據(jù)而得，同理， ，而當(dāng)時不滿足題意.

試題解析：（1）所有可能的數(shù)列為； ； ；

（2）由題意知數(shù)列中. 又，所以 ，所以，即（）

（3）當(dāng)時，由得，又所以，不滿足題意；當(dāng)時，由題意知數(shù)列中，又

當(dāng)時此時， 而，所以等式成立；

當(dāng)時此時， 而，所以等式成立；

當(dāng)， 得，此時數(shù)列為.

當(dāng)時， ，而，所以不存在滿足題意的數(shù)列.綜上數(shù)列依次為.