Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），
（1）若不等式f（x）-x²＞0在（0，

1

2

）內(nèi)恒成立，求a的取值范圍；
（2）判斷是否存在大于1的實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意x₁∈[a，2a]，都有x₂∈[a，a²]滿足等式：f（x₁）+f（x₂）=p，且滿足該等式的常數(shù)p的取值唯一？若存在，求出所有符合條件的a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將問題轉(zhuǎn)化為在(0，

1

2

)內(nèi)y=log_ax圖象在y=x²圖象的上方，得不等式組，解出即可；
（2）由題意得log_ax₁+log_ax₂=log_a（x₁x₂）=p，把x₂看作x₁的函數(shù)x2=

ap

x1

，其在區(qū)間[a，2a]上單調(diào)遞減，得不等式組，解出即可．

解答： 解：（1）不等式logax＞x2在(0，

1

2

)內(nèi)恒成立，
所以在(0，

1

2

)內(nèi)y=log_ax圖象在y=x²圖象的上方，
∴

0＜a＜1 loga 1 2 ≥( 1 2 )2

，∴

1

16

≤a＜1．
（2）假設(shè)存在大于1的實(shí)數(shù)a滿足條件，
由f（x₁）+f（x₂）=p，即log_ax₁+log_ax₂=log_a（x₁x₂）=p，
∴x1x2=ap，
把x₂看作x₁的函數(shù)x2=

ap

x1

，其在區(qū)間[a，2a]上單調(diào)遞減，
∴x₁∈[a，2a]時(shí)，x2∈[

ap

2a

，

ap

a

]，
∴

ap 2a ≥a ap a ≤a2

，∴

p≥2+loga2 p≤3

，
因?yàn)槌��?shù)p的取值唯一，所以2+

log

2 a

=3，解得：a=2，
所以存在大于1的實(shí)數(shù)a，且a=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．