Question

【題目】某次高三年級(jí)模擬考試中，數(shù)學(xué)試卷有一道滿(mǎn)分10分的選做題，學(xué)生可以從A，B兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學(xué)生參加了本次考試，為了了解該校學(xué)生解答該選做題的得分情況，作為下一步教學(xué)的參考依據(jù)，計(jì)劃從900名考生的選做題成績(jī)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為10的樣本，為此將900名考生選做題的成績(jī)按照隨機(jī)順序依次編號(hào)為001~900.

（1）若采用系統(tǒng)抽樣法抽樣，從編號(hào)為001~090的成績(jī)中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定的成績(jī)編號(hào)為025，求樣本中所有成績(jī)編號(hào)之和；

（2）若采用分層抽樣，按照學(xué)生選擇A題目或B題目，將成績(jī)分為兩層.已知該校高三學(xué)生有540人選做A題目，有360人選做B題目，選取的樣本中，A題目的成績(jī)平均數(shù)為5，方差為2，B題目的成績(jī)平均數(shù)為5.5，方差為0.25.

（i）用樣本估計(jì)該校這900名考生選做題得分的平均數(shù)與方差；

（ii）本選做題閱卷分值都為整數(shù)，且選取的樣本中，A題目成績(jī)的中位數(shù)和B題目成績(jī)的中位數(shù)都是5.5.從樣本中隨機(jī)選取兩個(gè)大于樣本平均值的數(shù)據(jù)做進(jìn)一步調(diào)查，求取到的兩個(gè)成績(jī)來(lái)自不同題目的概率.

Answer 1

【答案】(1)4300；(2) （i）平均數(shù)為5.2，方差為1.36.（ii）

【解析】

（1）根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特征,各個(gè)編號(hào)成等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差即可求得前10項(xiàng)的和.

（2）根據(jù)分層抽樣特征可知抽出的樣本中A題目的成績(jī)有6個(gè),B題目的成績(jī)有4個(gè).求出10名學(xué)生的總成績(jī),即可得10名學(xué)生的平均成績(jī).根據(jù)所給A題目和B題目的平均數(shù)和方差,將方差公式變形,即可求得10名學(xué)生的成績(jī)方差.從選取的成績(jī)可知,A題目中超過(guò)平均成績(jī)的有3人,B題目超過(guò)平均值的有2人,根據(jù)古典概型概率求法,用列舉法把所有情況列舉出來(lái),即可得解.

（1）由題易知,若按照系統(tǒng)抽樣的方法,抽出的編號(hào)可以組成以25為首項(xiàng),以90為公差的等差數(shù)列,故樣本編號(hào)之和即為該數(shù)列的前10項(xiàng)之和,

所以.

（2）（i）由題易知,若按照分層抽樣的方法,抽出的樣本中A題目的成績(jī)有6個(gè),按分值降序分別記為,,…,；B題目的成績(jī)有4個(gè),按分值降序分別記為,,,.

記樣本的平均數(shù)為,樣本的方差為.由題意可知,

,

,

所以,估計(jì)該校900名考生選做題得分的平均數(shù)為5.2,方差為1.36.

（ii）本選做題閱卷分值都為整數(shù),且選取的樣本中,A題目成績(jī)的中位數(shù)和B題目成績(jī)的中位數(shù)都是5.5,易知樣本中A題目的成績(jī)大于樣本平均值的成績(jī)有3個(gè),分別為,,,B題目的成績(jī)大于樣本平均值的成績(jī)有2個(gè),分別為,.

從樣本中隨機(jī)選取兩個(gè)大于樣本平均值的數(shù)據(jù)共有種10方法,為：

,,,,,,,,,,

其中取到的兩個(gè)成績(jī)來(lái)自不同題目的取法共有6種,為：

,,,,,,

記“從樣本中隨機(jī)選取兩個(gè)大于樣本平均值的數(shù)據(jù),取到的兩個(gè)成績(jī)來(lái)自不同題目”為事件,

所以.