Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項均為正數(shù)，公比是q，且滿足：a₁=2，b₁=1，b₂+S₂=8，S₂=（b₂+1）q
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）求出數(shù)列{c_n}的通項公式，利用錯位相減法進行求和即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{q+2+{a}_{2}=8}\\{2+{a}_{2}=（q+1）q}\end{array}\right.$，消去a₂得：q²+2q-8=0，
解得q=2或q=-4（舍），…（3分）
∴a₂=4，d=2，從而a_n=2n，b_n=2^n-1…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，則c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=2n•（$\frac{1}{2}$）^n-1．
則T_n=2•（$\frac{1}{2}$）⁰+4•（$\frac{1}{2}$）¹+…+2（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-2+2n•（$\frac{1}{2}$）^n-1．①
$\frac{1}{2}$T_n=2•（$\frac{1}{2}$）¹+4•（$\frac{1}{2}$）²+…+2（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+2n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．②
兩式作差得$\frac{1}{2}$T_n=2•（$\frac{1}{2}$）⁰+2•（$\frac{1}{2}$）¹+…+2•（$\frac{1}{2}$）^n-1-2n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
=$\frac{2[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-2n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=4-（4+2n）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=8-（4+2n）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，（12分）

點評 本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的求解，以及利用錯位相減法進行求和，考查學生的運算能力．