Question

7．已知凼數f（x）=e^x，x∈R
（1）求凼數h（x）=f（x）-2x的最小值
（2）令g（x）=$\frac{f（x）}{1+a{x}^{2}}$，a＞0，若g（x）在R上為單調凼數，求a的范圍
（3）證明：曲線y=f（x）與曲線y=$\frac{1}{2}$x²+x+1有唯一公共點．

Answer 1

分析 （1）求出函數h（x）的導函數，得到函數的單調性，進一步求得極值點，求出函數的極值，也就是最值；
（2）求出函數g（x）的導函數，由g（x）在R上為單調凼數，得導函數大于等于0或小于等于0恒成立，再結合二次函數求得的范圍；
（3）令h（x）=${e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-x-1$，利用導數證明函數h（x）為單調函數，再結合函數零點存在定理得答案．

解答 （1）解：h（x）=f（x）-2x=e^x-2x，h′（x）=e^x-2．
當x∈（-∞，ln2）時，h′（x）0．
∴h（x）在（-∞，ln2）上為減函數，在（ln2，+∞）上為增函數，
∴$h（x）_{min}=h（ln2）={e}^{ln2}-2=0$；
（2）解：g（x）=$\frac{f（x）}{1+a{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$．
${g}^{′}（x）=\frac{{e}^{x}（1+a{x}^{2}）-{e}^{x}（2ax）}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（a{x}^{2}-2ax+1）}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$．
∵g（x）在R上為單調凼數，∴g′（x）≥0或g′（x）≤0對任意實數x恒成立．
由g′（x）≥0，得ax²-2ax+1≥0恒成立，
∵a＞0，∴需△=（-2a）²-4a≤0，解得0＜a≤1；
∵a＞0，∴g′（x）≤0不滿足對任意實數x恒成立．
∴實數a的范圍是0＜a≤1；
（3）證明：令h（x）=${e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-x-1$，則h′（x）=e^x-x-1，
令φ（x）=e^x-x-1，則φ（0）=0，
又φ′（x）=e^x-1，當x∈（-∞，0）上φ′（x）＜0，在x∈（0，+∞）上φ′（x）＞0．
∴φ（x）_min=0．
即h′（x）≥0．
∴h（x）為單調增函數，
又$f（1）•f（2）=（e-\frac{5}{2}）（{e}^{2}-5）＜0$．
∴h（x）有唯一零點，即曲線y=f（x）與曲線y=$\frac{1}{2}$x²+x+1有唯一公共點．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數求函數的最值，考查了函數零點的判斷，體現了數學轉化思想方法，是壓軸題．