Question

下列函數(shù)值中，最小值是2的是（　　）

• A．y=

  x

  8

  +

  8

  x

• B．y=

  1

  x2+2

  +

  x2+2

• C．y=tanx+cotx∈(0，

  π

  2

  )
• D．y=lg（x-10）+

  1

  lg(x-10)

  （x＞10且x≠11）

Answer 1

分析：對(duì)于A(yíng)，當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0，故排除A．對(duì)于B，令

x2+2

=t，則 y=t+

1

t

 利用導(dǎo)數(shù)可得在[

2

，+∞）上是增函數(shù)，故函數(shù)y的最小值為

2

+

1

2

，故B不正確．利用基本不等式可得C正確，通過(guò)舉反例可得D不正確．

解答：解：對(duì)于A(yíng)，當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0，故排除A．
對(duì)于B，令

x2+2

=t，則 y=t+

1

t

，t≥

2

，則y′=1-

1

t2

＞0，
故函數(shù)y=t+

1

t

 在[

2

，+∞）上是增函數(shù)，故函數(shù)y的最小值為

2

+

1

2

=

3 2

2

，故B不正確．
對(duì)于C，∵x∈（0，

π

2

），故tanx＞0，∴y=tanx+cotx≥2，當(dāng)且僅當(dāng)tanx=1時(shí)，等號(hào)成立．
對(duì)于D，當(dāng) 10＜x＜11時(shí)，lg（x-10）＜0，故y＜0，故D不正確，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意利用基本不等式的條件，屬于基礎(chǔ)題．