Question

6．過(guò)點(diǎn)P（2，1）作直線(xiàn)l交x軸，y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)．求：
（1）當(dāng)△AOB面積最小時(shí)的直線(xiàn)l的方程；
（2）當(dāng)|OA|+|OB|最小時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；
（3）當(dāng)|PA|•|PB|最小時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，則直線(xiàn)方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$．根據(jù)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P，可得a，b的關(guān)系式，然后表示出△AOB面積，通過(guò)變形運(yùn)用基本不等式即可求得答案；
（2）運(yùn)用（1）問(wèn)結(jié)論，使用基本不等式可得答案；
（3）運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式表示出|PA|•|PB|，通過(guò)整理使用基本不等式可求．

解答 解：由題意，設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，直線(xiàn)方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$．
又直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（2，1），得$\frac{2}{a}+\frac{1}=1$，
（1）∵$\frac{2}{a}+\frac{1}=1$，∴a+2b=ab⇒a+2b-ab-2=-2⇒a（1-b）+2（b-1）=-2，
⇒（a-2）（b-1）=2＞0，a＞2，b＞1，
當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，即S=$\frac{1}{2}$ab最小，
得S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$（a+2b）=$\frac{1}{2}$[（a-2）+2（b-1）]+2≥$\sqrt{2（a-2）（b-1）}$+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)a-2=2（b-1），即a=4，b=2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}$=1，即x+2y-4=0；
（2）|OA|+|OB|=a+b=（a-2）+（b-1）+3≥3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a-2=b-1=$\sqrt{2}$，即a=2+$\sqrt{2}$，b=1+$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)直線(xiàn)l的方程為$\frac{x}{2+\sqrt{2}}+\frac{y}{1+\sqrt{2}}$=1，即x+$\sqrt{2}$y-2-$\sqrt{2}$=0．
（3）|PA|•|PB|=$\sqrt{[（a-2）^{2}+1][4+（b-1）^{2}]}$=$\sqrt{8+4（a-2）^{2}+（b-1）^{2}}$
≥$\sqrt{8+2\sqrt{4（a-2）^{2}（b-1）^{2}}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)2（a-2）=b-1=2，即a=b=3時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)直線(xiàn)l的方程為$\frac{x}{3}+\frac{y}{3}=1$，即x+y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的面積公式、兩點(diǎn)間的距離公式及基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．