Question

如下圖,A、B是兩個定點,|AB|=4,動點M到A點的距離是6,線段MB的垂直平分線l交MA于點P,直線l′垂直于AB,且B到l′的距離是.若以AB所在直線為x軸,AB的中垂線為y軸建立直角坐標系.

(1)求證:點P到點B的距離與到直線l′的距離之比為定值.

(2)若P點到A、B兩點的距離之積為m,當m取最大值時,求P點的坐標.

(3)設直線y=kx+m(k≠0)與點P所在曲線相交于不同兩點C、D,定點G(0,－),則使|GC|=|GD|的正數(shù)m是否存在?若存在,則求出其取值范圍;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1)證明:A(－2,0),B(2,0), l′:x=.

由題意,|PA|+|PM|=|PA|+|PB|=6且|AB|=4.

∴點P在橢圓=1上.

∴l′:x=為橢圓的右準線,且右焦點為B(2,0),若P到l′的距離為d,則=e=為定值.

(2)解:m=|PA|·|PB|=()²=9.

當|PA|=|PB|,即P(0,－)或(0,)時m取最大值.

(3)解:設存在直線y=kx+m(k≠0)與P點所在曲線交于C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂)兩點,CD中點為N(x₀,y₀),

則x₀=,|GC|=|GD|,

即GN為CD的中垂線,k_CD·k_GN=k·k_GN=－1.

由

得(5+9k²)x²+18mkx+9m²－45=0.

x₁+x₂=－.

由Δ＞0得9k²+5＞m².                         ①

又x₀==－,

y₀=kx₀+m=,

k_GN=－=－.

∴5+5m+9k²=9m.                       ②

由①②得 (9k²+5)=4m＞m².

∴0＜m＜.

但由②9k²=4m－5＞0得m＞,二者矛盾,故這樣的正數(shù)m不存在.