Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=

1

2

n²+

1

2

n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=

1

an•an+1

，求數(shù)列{b_n}的前2011項(xiàng)和T₂₀₁₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1  ，n≥2

可求數(shù)列的通項(xiàng)，要注意驗(yàn)證是否可合寫成一個(gè)式子；
（Ⅱ）b_n=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由裂項(xiàng)相消法可求和．

解答：解：（Ⅰ） n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

1

2

n-

1

2

(n-1)2-

1

2

(n-1)=n，
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)a₁=S₁=1也滿足上式，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=n． …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b_n=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴T₂₀₁₁=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2011

-

1

2012

）
=1-

1

2012

=

2011

2012

，
數(shù)列{b_n}的前2011項(xiàng)和T₂₀₁₁=

2011

2012

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題為數(shù)列的通項(xiàng)和求和的綜合應(yīng)用，利用式子an=

S1，n=1 Sn-Sn-1  ，n≥2

和裂項(xiàng)相消法是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．