Question

已知，為其反函數(shù).

（Ⅰ）說明函數(shù)與圖象的關(guān)系（只寫出結(jié)論即可）；

（Ⅱ）證明的圖象恒在的圖象的上方；

（Ⅲ）設(shè)直線與、均相切，切點分別為（）、（），且，求證：.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 關(guān)于直線對稱；(Ⅱ)見解析；(Ⅲ)見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)原函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；(Ⅱ)先求出反函數(shù)的解析式：，引入中間函數(shù).先構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求得函數(shù)的最小值是，找到關(guān)系；再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求得函數(shù)的最小值是，找到關(guān)系.從而證得“的圖象恒在的圖象的上方”；(Ⅲ)先求出以及，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與切線方程的關(guān)系，由斜率不變得到，再根據(jù)兩點間的斜率公式得到.首先由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，那么，然后由得到，解得.

試題解析：（Ⅰ）與的圖象關(guān)于直線對稱.    2分

（Ⅱ），設(shè)，               4分

令，，

令，解得，

當時，當時；

∴當時，，

∴.                                  6分

令，，

令，解得；

當時，，當時，，

∴當時，，

∴.                             8分

∴的圖象恒在的圖象的上方.            9分

（Ⅲ），，切點的坐標分別為，可得方程組：

 11分

∵，

∴，∴，

∴.                      12分

由②得，，∴，   13分

∵，∴，∴，即，

∴.              14分

考點：1.反函數(shù)；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；3.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；4.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；5.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程