Question

已知a，b為兩個(gè)正數(shù)，且a>b，設(shè)，當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，。
（1）求證：數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列；
（2）求證：a_n+1-b_n+1＜；
（3）是否存在常數(shù)C>0，使得對(duì)任意n∈N*，有|a_n-b_n|>C，若存在，求出C的取值范圍；若不存在，試說明理由。

Answer 1

解：（1）證明：易知對(duì)任意n∈N*，a_n>0，b_n>0
由a≠b，可知，即a₁>b₁
同理，，即a₂>b₂
可知對(duì)任意n∈N*，a_n>b_n

所以數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列

所以數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列。
（2）證明：
。
（3）由
可得
若存在常數(shù)C>0，使得對(duì)任意n∈N*，有|a_n-b_n|>C，
則對(duì)任意n∈N*，
即對(duì)任意n∈N*成立，
即對(duì)任意n∈N*成立，
設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，
則有
即當(dāng)時(shí)，
與對(duì)任意n∈N*成立矛盾
所以，不存在常數(shù)C>0，使得對(duì)任意n∈N*，有|a_n-b_n|>C。