Question

15．由正弦的和角公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ與正弦二倍公式sin2α=2sinαcosα．求①sin3α=3sinα-4sin³α（用sinα表示）；②利用二倍角和三倍角公式及$sinα=cos（\frac{π}{2}-α）$，求sin18°=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正弦公式、二倍角公式，證得三倍角的正弦公式．
（2）設(shè)α=18°，則cos3α=sin2α，利用三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式展開化簡可得sinα的值．

解答 解：（1）∵sin3α=sin（2α+α）=sin2αcosα-cos2αsinα=2sinα•cos²α-（1-2sin²α）sinα=2sinα•（1-sin²α）-（1-2sin²α）sinα
=3sinα-4sin³α
（2）設(shè)α=18°，則5α=90°，從而3α=90°-2α，
于是cos3α=cos（90°-2α），
即cos3α=sin2α，展開得4cos³α-3cosα=2sinαcosα，∵cosα=cos18°≠0，
∴4cos²α-3=2sinα，化簡得4sin²α+2sinα-1=0，解得sinα=$\frac{-1±\sqrt{5}}{4}$．
再根據(jù)sinα＞0，可得sinα=$\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$，
故答案為：3sinα-4sin³α； $\frac{{\sqrt{5}-1}}{4}$．

點評 本題主要考查兩角和的正弦公式、二倍角的公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．