Question

已知圓和直線

(1) 求證:不論取什么值,直線和圓總相交;

(2) 求取何值時,圓被直線截得的弦最短,并求最短弦的長.

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析 (2) 當(dāng)時，圓被直線截得最短的弦長為4

【解析】（1）由直線l的方程可得從而可確定直線l恒過定點(4,3),

再證明定點（4，3）在圓內(nèi)部即可.

（2）由弦長公式可知當(dāng)定點P（4，3）為弦的中點時，圓心到直線l的距離最大，弦長最短，所以此時直線l與CP垂直.

解:(1)證明:由直線的方程可得,,則直線恒通過點

,把代入圓C的方程,得,所以點 在圓的內(nèi)部,

又因為直線恒過點, 所以直線與圓C總相交.

(2)設(shè)圓心到直線的距離為,則

   

又設(shè)弦長為,則,即.

∴當(dāng)時,

所以圓被直線截得最短的弦長為4.