Question

已知函數(shù)f（x）=e^kx（k是不為零的實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）若曲線y=f（x）與y=x²有公共點，且在它們的某一公共點處有共同的切線，求k的值；

（2）若函數(shù)h（x）=f（x）（x²﹣2kx﹣2）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求此時k的取值范圍．

Answer 1

考點：

利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．

專題：

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．

分析：

（1）設(shè)切點坐標(biāo)，再代入兩個解析式建立方程①，再由在切點處導(dǎo)數(shù)值相等列出方程②，聯(lián)立方程求解；

（2）由題意求出h（x）解析式，再求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)區(qū)間關(guān)系求出k的范圍，再對k分類：k＜﹣1時和0＜k＜1時，再由條件和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，分別列出等價條件，求出k的范圍，最后并在一起．

解答：

解：（1）設(shè)曲線y=f（x）與y=x²有共同切線的公共點為P（x₀，y₀），

則          ①，

又∵y=f（x）與y=x²在點P（x₀，y₀）處有共同切線，

且f′（x）=ke^kx，（x²）′=2x，

∴     ②，

由①②解得，．                  

（2）由f（x）=e^kx得，函數(shù)h（x）=（x²﹣2kx﹣2）e^kx，

∴（h（x））′=[kx²+（2﹣2k²）x﹣4k]e^kx

==．             

又由區(qū)間知，，

解得0＜k＜1，或k＜﹣1．            

①當(dāng)0＜k＜1時，

由（h（x））'=，得，

即函數(shù)h（x）的單調(diào)減區(qū)間為，

要使h（x）=f（x）（x²﹣2kx﹣2）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

則有，解得．                                

②當(dāng)k＜﹣1時，

由（h（x））'=，得x＜2k或，

即函數(shù)h（x）的單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，2k）和，

要使h（x）=f（x）（x²﹣2kx﹣2）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

則有，或，

這兩個不等式組均無解．

綜上，當(dāng)時，

函數(shù)h（x）=f（x）（x²﹣2kx﹣2）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．

點評：

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想．