Question

10．A、B是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩點，滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0（O是原點），求證：
（1）A、B兩點的橫坐標之積，縱坐標之積均為定值．
（2）直線AB過定點．

Answer 1

分析 （1）OA⊥OB時，設(shè)直線AB：x=my+n，代入拋物線方程，可得y²-2pmy-2pn=0，利用OA⊥OB，即可證明A、B兩點的橫坐標之積為定值；
（2）由（1）知，直線AB：x=my+2p過定點（2p，0）．

解答 證明：（1）OA⊥OB時，設(shè)直線AB：x=my+n．
代入拋物線方程，可得y²-2pmy-2pn=0，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
∴x₁x₂=4p²；
（2）由（1）知，直線AB：x=my+2p過定點（2p，0）．

點評 本題考查拋物線方程，考查學生的計算能力，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，難度中檔．