Question

已知函數(shù)f(x)=，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,且有a₁=f(1),當(dāng)n≥2時(shí)，S_n- (n²+5n-2).

(1)計(jì)算a₁,a₂,a₃,a₄;

(2)求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并給予證明.

Answer 1

解析:(1)S_n-=(n²+5n-2).?

∴S_n+a_n= (n²+5n+2).?

a₁=2,a₂=3,a₃=4,a₄=5.

(2)由(1)猜想a_n=n+1.?

①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，成立.?

②假設(shè)n=k時(shí)，成立，?

∴S_k=(k²+5k+2)-a_k,a_k=k+1.?

當(dāng)n=k+1時(shí)，S_k+1=((k+1)²+5(k+1)+2)-a_k+1 ，?

∴S_k+1-S_k=a_k+1=(k²+7k+8-k²-5k-2)-a_k+1+a_k.?

∴2a_k+1= (2k+6)+a_k.

∴a_k+1=k+2=(k+1)+1.?

∴當(dāng)n=k+1時(shí),也成立.?

∴由①②得n∈N^*時(shí)等式均成立.