Question

【題目】已知函數(shù)，其中；

（l）判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，請(qǐng)判斷是極大值還是極小值；若不存在，說(shuō)明理由；

（2）討論在上函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

(1) ，設(shè)，，因此單調(diào)遞減,,討論正負(fù)即可判斷出極值情況;

(2)由(1)可知若時(shí),恒為增函數(shù),計(jì)算可知,此時(shí)無(wú)零點(diǎn), 若時(shí), ,可求得,討論與的關(guān)系,及若，,函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性及函數(shù)值在區(qū)間端點(diǎn)的符號(hào),即可得出結(jié)論.

（1），設(shè)，

，因此單調(diào)遞減，

，

又時(shí)，，

若，即時(shí)，

，使；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

在處取極大值，不存在極小值.

若，即，，

在單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值.

（2）由第一問(wèn)結(jié)論可知：

（i）若時(shí)，由上問(wèn)可知：

，

即時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn).

（ii）若時(shí)，時(shí)單調(diào)遞增；

時(shí)，單調(diào)遞減.

由，得，

從而，再設(shè)，

則，從而a關(guān)于單調(diào)遞增.

①若，此時(shí)，

若得或，

所以時(shí)無(wú)零點(diǎn)；

若得，

所以時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)，，有一個(gè)零點(diǎn).

因此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；

時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；

②此時(shí)，

，，

，

設(shè)，

則，

所以，

若即，即時(shí)無(wú)零點(diǎn)；

若即，即時(shí)有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：時(shí)無(wú)零點(diǎn)；

時(shí)有一個(gè)零點(diǎn).