Question

（Ⅰ）用定義證明函數(shù)f(x)=x+

4

x

在[2，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）用（Ⅰ）的結(jié)論求y=f（2^x）（x∈[0，3]）的最值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性．
（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)求函數(shù)的最值．

解答：解：（Ⅰ）證明：（I）任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，則x₁-x₂＞0，x₂x₁＞4，
那么 f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-(x2-

4

x2

)=(x1-x2)-

4(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)=

(x1-x2)(x2x1-4)

x1x2

＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）令2^x=t，則當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，t∈[1，8]，
由（Ⅰ）知，f(t)=t+

4

t

在[2，+∞）上遞增，
同理可證f（t）在（0，2]上遞減，
從而f(t)=t+

4

t

在[1，2]上遞減，在[2，8]上遞增，
故當(dāng)t=2，即x=1時(shí)，y_min=4；
又當(dāng)t=1，即x=0時(shí)，y=5；
當(dāng)t=8即x=3時(shí)，y=

17

2

，
∵

17

2

＞4，
∴ymax=

17

2

，當(dāng)x=3時(shí)取到．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．