Question

若，（、）.

（1）求的值； （2）求證：數(shù)列各項均為奇數(shù).

 

Answer 1

【答案】

（1）.（2）略

【解析】本試題主要考查了二項式定理的運用。

解：（1）當(dāng)時，

故，，所以.

（2）證：由數(shù)學(xué)歸納法（i）當(dāng)時，易知，為奇數(shù)；

（ii）假設(shè)當(dāng)時，，其中為奇數(shù)；

則當(dāng)時，

所以，又、，所以是偶數(shù)，

而由歸納假設(shè)知是奇數(shù)，故也是奇數(shù).

綜上（i）、（ii）可知，的值一定是奇數(shù).

證法二：因為

當(dāng)為奇數(shù)時，

則當(dāng)時，是奇數(shù)；當(dāng)時，

因為其中中必能被2整除，所以為偶數(shù)，

于是，必為奇數(shù)；

當(dāng)為偶數(shù)時，

其中均能被2整除，于是必為奇數(shù).綜上可知，各項均為奇數(shù)