Question

3．已知函數(shù)g（x）=alnx+x²-（a+2）x．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)g（x）的極值；
（2）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P（m，f（m））處的切線方程為l：y=h（x），當(dāng)x≠m，若$\frac{f（x）-h（x）}{x-m}$＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=f（x）的“界點(diǎn)”．當(dāng)a=8時(shí)，問(wèn)函數(shù)y=g（x）是否存在“界點(diǎn)”？若存在，求出“界點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再構(gòu)造函數(shù)f（x）=g（x）-h（x），利用導(dǎo)數(shù)和界點(diǎn)的定義，分類討論即可求出．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=lnx+x²-3x，x＞0，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$或x=1，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，即0＜x＜$\frac{1}{2}$，或x＞1時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，即$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）有極大值，即g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$-ln2，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）有極小值，即g（1）=-2；
（Ⅱ）a=8時(shí)，g（x）=8lnx+x²-10x，
∴g′（x）=$\frac{8}{x}$+2x-10，
由y=g（x）在其圖象上一點(diǎn)P（m，f（m））處的切線方程，
得h（x）=（2m+$\frac{8}{m}$-10）（x-m）-8lnm-m²+10m，
∴h′（x）=2m+$\frac{8}{m}$-10，
設(shè)f（x）=g（x）-h（x），則f（m）=0，
f′（x）=g′（x）-h′（x）=$\frac{8}{x}$+2x-10-2m-$\frac{8}{m}$+10=$\frac{2}{x}$（x-m）（x-$\frac{4}{m}$），
當(dāng)0＜m＜2時(shí)，f（x）在（m，$\frac{4}{m}$）上遞減，
∴x∈（m，$\frac{4}{m}$）時(shí)，f（x）＜f（m）=0，此時(shí)$\frac{f（x）}{x-m}$＜0，
m＞2時(shí)，f（x）在（$\frac{4}{m}$，m）上遞減；
∴x∈（$\frac{4}{m}$，m）時(shí)，f（x）＞f（m）=0，此時(shí)$\frac{f（x）}{x-m}$＜0，
∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“界點(diǎn)”，
m=2時(shí)，f′（x）=$\frac{2}{x}$（x-2）²，即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
x＞m時(shí)，f（x）＞f（m）=0，x＜m時(shí)，f（x）＜f（m）=0，
即點(diǎn)P（m，f（m））為“界點(diǎn)”，
故函數(shù)y=g（x）存在“界點(diǎn)”，且2是“界點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，
∴g（2）=8ln2+4-20=-16+8ln2，
∴“界點(diǎn)”的坐標(biāo)位（2，-16+8ln2）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系，考查類界點(diǎn)的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．