Question

18．已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A（t，0），B（0，4），C（cosα，sinα），其中t∈R，$α∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$．
（1）若t=4，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-2，求sin（π-α）sin（$\frac{3π}{2}$-α）的值；
（2）記$f（α）=|{\overrightarrow{AC}}|$，若f（α）的最大值為2，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)t=4時(shí)，$\overrightarrow{AC}$=（cosα-4，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-4），由已知 $\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-2可得sinα+cosα=$\frac{3}{4}$，利用同角平方關(guān)系可求sinαcosα，對(duì)sin（π-α）sin（$\frac{3π}{2}$-α）進(jìn)行化簡(jiǎn)，代入即可得解．
（2）由f（α）=|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{（cosα-t）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{{t}^{2}-2tcosα+1}$，由$α∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$可得-1≤cosα≤$\frac{1}{2}$，分①t＞0，②t＜0，兩種情況討論即可求解．

解答 解：（1）∵A（t，0），B（0，4），C（cosα，sinα），
∴$\overrightarrow{AC}$=（cosα-t，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-4），
當(dāng)t=4時(shí)，$\overrightarrow{AC}$=（cosα-4，sinα），
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=cosα（cosα-4）+sinα（sinα-4）
=cos²α-4cosα+sin²α-4sinα
=1-4（cosα+sinα）=-2，
∴sinα+cosα=$\frac{3}{4}$，
∴2sinαcosα=-$\frac{7}{16}$，
∴sin（π-α）sin（$\frac{3π}{2}$-α）=-sinαcosα=$\frac{7}{32}$．
（2）∵f（α）=|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{（cosα-t）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{{t}^{2}-2tcosα+1}$，
∵$α∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
∴-1≤cosα≤$\frac{1}{2}$，
若t＞0，則f（x）_max=$\sqrt{1+{t}^{2}+2t}$=2，
∴t=1，
若t＜0，則f（x）_max=$\sqrt{1+{t}^{2}-t}$=2，
∴t=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，
∴t=1或$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，三角函數(shù)的同角平方關(guān)系及三角函數(shù)的基本關(guān)系，向量的數(shù)量積的性質(zhì)及三角函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．