Question

已知橢圓的離心率為，

軸被拋物線截得的線段長等于的長半軸長.
（1）求的方程；
（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線
與相交于兩點(diǎn)，直線分別與相交于.   
①證明：為定值;
②記的面積為，試把表示成的函數(shù)，并求的最大值.

Answer 1

（1）
（2）利用直線與拋物線以及直線于橢圓聯(lián)立方程組來求解向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積為零來證明垂直。當(dāng)，即時(shí)，

試題分析：解：（1）由已知，，      ①           
在中，令，得②
由①②得，
                           
(2)由得
設(shè)，則             
而
  
 
（3）設(shè)在上，
即，，直線方程為：代入， 得，
，同理

由（2）知，，
令，
又在時(shí)，為增函數(shù)，，
當(dāng)，即時(shí)，
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用拋物線的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)得到方程的求解，以及聯(lián)立方程組來得到坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積為零證明垂直，屬于基礎(chǔ)題。