Question

19．函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{（{x}^{2}+1）^{2}}$的值域為（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{4}$]
• B． [-1，$\frac{1}{4}$]
• C． （0，$\frac{1}{8}$]
• D． [-1，$\frac{1}{8}$]

Answer 1

分析 通過換元得到而f（t）=-2${（\frac{1}{t}-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{1}{8}$，（0＜$\frac{1}{t}$≤1），得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的值域即可．

解答 解：令t=x²+1，（t≥1），
∴f（t）=$\frac{t-2}{{t}^{2}}$，（t≥1）
而f（t）=-2${（\frac{1}{t}-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{1}{8}$，（0＜$\frac{1}{t}$≤1），
∴f（t）在（0，$\frac{1}{4}$）遞增，在（$\frac{1}{4}$，1]遞減，
∴f（t）_最大值=f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{8}$，f（t）_最小值=f（1）=-1，
∴原函數(shù)的值域是[-1，$\frac{1}{8}$]，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的值域問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．