Question

如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，_MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求證：AM∥平面BCN;

（Ⅱ）求AN與平面MNC所成角的正弦值；

（Ⅲ）E為直線MN上一點(diǎn)，且平面ADE_⊥平面MNC，求的值.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ABCD是正方形,

∴BC∥AD.

∵BCË平面AMD,AD平面AMD,

∴BC∥平面AMD.

∵NB∥MD,

∵NBË平面AMD,MD平面AMD,

∴NB∥平面AMD.

∵NBBC=B,NB平面BCN, BC平面BCN,

∴平面AMD∥平面BCN

∵AM平面AMD,

∴AM∥平面BCN

(也可建立直角坐標(biāo)系，證明AM垂直平面BCN的法向量，酌情給分)

（Ⅱ）平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可選點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA,DC,DM所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

則，，,.

, 

，,

設(shè)平面MNC的法向量,

則，令，則

設(shè)AN與平面MNC所成角為,

.  ……9分

（Ⅲ）設(shè)，，，

又，

E點(diǎn)的坐標(biāo)為， 

面MDC,，

欲使平面ADE⊥平面MNC，只要，

，，

 .