Question

16．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)都為1，M是底面上BC邊的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC₁上的點(diǎn)，且CN=$\frac{1}{4}$CC₁，求證：AB₁⊥MN．

Answer 1

分析 設(shè)AB中點(diǎn)為O，作OO₁∥AA₁，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AB₁⊥MN．

解答 解：設(shè)AB中點(diǎn)為O，作OO₁∥AA₁，
以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得A（-$\frac{1}{2}$，0，0），B₁（$\frac{1}{2}，0，1$），
B（$\frac{1}{2}，0，0$），C（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），C₁（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
M（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），N（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{4}$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{4}$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{MN}$=-$\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}$=0，
∴AB₁⊥MN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．