Question

如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長(zhǎng)程序：正方形一邊上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形兩直角邊再分別連接著一個(gè)正方形，如此繼續(xù)下去，共得到127個(gè)正方形．若最后得到的正方形的邊長(zhǎng)為1，則初始正方形的邊長(zhǎng)為

8

．

Answer 1

分析：由初始的一個(gè)正方形，第一次增長(zhǎng)2個(gè)正方形，第兩次增長(zhǎng)4個(gè)正方形，…，總結(jié)第n次增長(zhǎng)2ⁿ個(gè)正方形，發(fā)現(xiàn)正方形的總個(gè)數(shù)其組成的數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)正方形的總個(gè)數(shù)為127個(gè)，利用等比數(shù)列的求和公式列出關(guān)于n的方程，求出方程的解得到n的值，再設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)其中的三角形為等腰直角三角形，可得出最后正方形邊長(zhǎng)與初始正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系，由最后正方形的邊長(zhǎng)為1即可求出初始正方形的邊長(zhǎng)．

解答：解：第一次增長(zhǎng)2個(gè)正方形，第二次增長(zhǎng)4個(gè)正方形，…，第n次增長(zhǎng)2ⁿ個(gè)正方形，
∴1+2+2²+…+2ⁿ=127，即

1-2n+1

1-2

=127，解得n=6，
設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為a，
則a=

1

( 2 2 )6

=8．
故答案為：8

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)題意總結(jié)得出一般性的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．