Question

8．若x＞0，y＞0，則$\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{x}$的最小值為$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)$\frac{y}{x}$=t＞0，變形$\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{x}$=$\frac{1}{1+2t}$+t=$\frac{1}{1+2t}$+$\frac{1}{2}（2t+1）$-$\frac{1}{2}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)$\frac{y}{x}$=t＞0，則$\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{x}$=$\frac{1}{1+2t}$+t=$\frac{1}{1+2t}$+$\frac{1}{2}（2t+1）$-$\frac{1}{2}$≥$2\sqrt{\frac{1}{1+2t}×\frac{1+2t}{2}}$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，當且僅當$t=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$=$\frac{y}{x}$時取等號．
故答案為：$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．