Question

設(shè)，證明：

   (Ⅰ)當(dāng)x﹥1時(shí)， ﹤ （ ）；

   (Ⅱ)當(dāng)時(shí)，。

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】(Ⅰ)證法一：記，

則當(dāng)x>1時(shí)，.

又有, 即

證法二：由均值不等式，當(dāng)x>1時(shí)，，故  ①

令，則，.

故，即    ②

由①②得，當(dāng)x>1時(shí)，.

(Ⅱ)（證法一）

記，

由(Ⅰ)得

令，

則當(dāng)1<x<3時(shí)，

因此在（1,3）內(nèi)是遞減函數(shù)，

又由，得，

所以

因此在（1,3）內(nèi)是遞減函數(shù)，

又由，得.

于是，當(dāng)1<x<3時(shí)，

（證法二）：

記

則當(dāng)1<x<3時(shí)，由(Ⅰ)得

因此在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減

又，所以即.

考點(diǎn)定位：本大題考查導(dǎo)數(shù)題目中較為常規(guī)的類型題目，考查的切線，單調(diào)性，以及最值問題都是課本中要求的重點(diǎn)內(nèi)容，考查構(gòu)造函數(shù)用求導(dǎo)的方法求最值的能力