Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 見解析;(Ⅱ) 見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ) 求導(dǎo)得，分， ， 三種情況討論可得的單調(diào)區(qū)間.

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)， 和可得所有的， ；

當(dāng)時(shí)，易知上均有.

只需考慮時(shí)，此時(shí)，分和兩種情況討論即可.

試題解析：(Ⅰ) .

①當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， .當(dāng)時(shí)， .∴在遞增

②當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí).

易知在遞增， 遞減， 遞增

③當(dāng)時(shí)， .易知在遞增， 遞減， 遞增

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)， ，

①若時(shí)，可知，

②若時(shí)，由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增，則有

因此，當(dāng)時(shí)，對(duì)所有的， ；

當(dāng)時(shí)，由(Ⅰ)可知易知在遞增， 遞減， 遞增，

且，因此在上均有.

下面考慮時(shí)，此時(shí)

，其中， .

設(shè)，則

①若，則， ，而

∴，∴，即.

此時(shí)在遞增，故；

②若，則

由①②可知，二次函數(shù).

因此在時(shí)，總有.

綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)所有的, .

點(diǎn)晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，不等式恒成立證明問(wèn)題.要求單調(diào)性，求導(dǎo)比較導(dǎo)方程的根的大小，解不等式可得單調(diào)區(qū)間，要證明不等式恒成立問(wèn)題，我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，求其值最值即可.這類問(wèn)題的通解方法就是：劃歸與轉(zhuǎn)化之后，就可以假設(shè)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，圖像與性質(zhì)，進(jìn)而求解得結(jié)果.