Question

已知直三棱柱的三視圖如圖所示，是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）試問(wèn)線段上是否存在點(diǎn)，使與成 角？若存在，確定點(diǎn)位置，若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）根據(jù)三視圖知：三棱柱是直三棱柱，，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié).由 是直三棱柱，得四邊形為矩形，為的中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以為中位線，所以 ∥所以 ∥平面

（Ⅱ）（Ⅲ）為線段中點(diǎn)

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：根據(jù)三視圖知：三棱柱是直三棱柱，，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié).由 是直三棱柱，

得四邊形為矩形，為的中點(diǎn).

又為中點(diǎn)，所以為中位線，所以 ∥，    2分

因?yàn)?平面，平面，

所以 ∥平面.            4分

（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系.                          5分

，則.

所以 ， 

設(shè)平面的法向量為，則有

所以  取，得.            6分

易知平面的法向量為.

由二面角是銳角，得 .

所以二面角的余弦值為.          8分

（Ⅲ）解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn).

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071212162504097020/SYS201307121217225206144817_DA.files/image015.png">在線段上，，，故可設(shè)，其中.

所以 ，.               9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071212162504097020/SYS201307121217225206144817_DA.files/image044.png">與成角         10分

所以，解得，舍去.

所以當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，與成角.             12分

考點(diǎn)：空間線面平行的判定及二面角線線角的求解

點(diǎn)評(píng)：采用空間向量法求解立體幾何問(wèn)題首先要找到直線的方向向量和平面的法向量，直線的方向向量和平面的法向量垂直時(shí)，直線與平面平行；求二面角可先求出法向量的夾角，求兩條異面直線所成角可首先求兩直線的方向向量所成角