Question

自平面上一點O引兩條射線OA，OB，點P在OA上運勸，點Q在OB上運動且保持|

PQ

|為定值a（點P，Q不與點O重合），已知∠AOB=60°，a=

7

，則

PQ • PO

| PO |

+

3 QP • QO

| QO |

的取值范圍為（　�。�

• A、（

  1

  2

  ，

  7

  ]
• B、（

  7

  2

  ，

  7

  ]
• C、（-

  1

  2

  ，

  7

  ]
• D、（-

  7

  2

  ，7]

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：作圖，記向量

PQ

與

PO

的夾角為α，0°＜α＜120°可得向量

QP

與

QO

的夾角為120°-α，可得

PQ • PO

| PO |

+

3 QP • QO

| QO |

=|

PQ

|cosα+3|

QP

|cos（120°-α），由三角函數(shù)的公式化簡結(jié)合角的范圍可得所求．

解答：解：（如圖）記向量

PQ

與

PO

的夾角為α，0°＜α＜120°
可得向量

QP

與

QO

的夾角為180°-（60°+α）=120°-α，
∴

PQ • PO

| PO |

+

3 QP • QO

| QO |

=|

PQ

|cosα+3|

QP

|cos（120°-α）
=

7

cosα+3

7

cos（120°-α）
=

7

（cosα-

3

2

cosα+

3 3

2

sinα）
=

7

（-

1

2

cosα+

3 3

2

sinα）
=

7

•

7

sin（α-β）
=7sin（α-β），其中tanβ=

1

3 3

=

3

9

，
∵tanβ=

3

9

＜

3

3

，∴0°＜β＜30°，
又∵0°＜α＜120°，∴-30°＜α-β＜120°
∴-

1

2

＜sin（α-β）≤1
∴-

7

2

＜7sin（α-β）≤7，
∴

PQ • PO

| PO |

+

3 QP • QO

| QO |

的取值范圍為（-

7

2

，7]
故選：D

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，涉及三角函數(shù)的化簡及應(yīng)用，屬中檔題．