Question

若AD與BE分別為△ABC的邊，BC與AC上的中線AD交BE于點(diǎn)O，

AD

=

a

，

BE

=

b

，試用

a

，

b

表示

OC

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)向量

BC

和

BD

共線知，存在實(shí)數(shù)λ使

BC

=λ

BD

，所以可求得

OC

=(1-λ)

OB

+λ

OD

．O是△ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)知|

OB

|=

2

3

|

BE

|，|

OD

|=

1

3

|

AD

|，所以

OC

=

λ

3

a

+

2(λ-1)

3

b

   ①，同理根據(jù)A，E，C三點(diǎn)共線可得存在μ使

OC

=

μ

3

b

+

2(μ-1)

3

a

，根據(jù)平面向量基本定理得到

λ 3 = 2(μ-1) 3 2(λ-1) 3 = μ 3

，解該方程組得出λ，μ，并帶入①中便可用

a

，

b

表示

OC

．

解答： 解：如圖，B，D，C三點(diǎn)共線，所以向量

BC

∥

BD

，∴存在實(shí)數(shù)λ，使

BC

=λ

BD

；
∴

OC

-

OB

=λ(

OD

-

OB

)；
∴

OC

=(1-λ)

OB

+λ

OD

=

λ

3

AD

+

2(λ-1)

3

BE

=

λ

3

a

+

2(λ-1)

3

b

；
同理，A，E，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)μ，使

OC

=

2(μ-1)

3

a

+

μ

3

b

；
∴

λ 3 = 2(μ-1) 3 2(λ-1) 3 = μ 3

，解得λ=μ=2；
∴

OC

=

2

3

a

+

2

3

b

．

點(diǎn)評：考查共線向量基本定理，向量的減法，重心的性質(zhì)，以及平面向量基本定理．