Question

經(jīng)過拋物線y²=2px （p＞0）的焦點(diǎn)作一條直線l交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則

y1y2

x1x2

的值為

-4

．

Answer 1

分析：對直線的斜率進(jìn)行分類討論：①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：x=

p

2

，由

x= p 2 y2=2px

得到交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到x₁•x₂的值和y₁•y₂的值．②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線方程為：y=k（x-

p

2

），由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

得 y²-

2p

k

y-p²=0．由此能夠得到y(tǒng)₁•y₂的值和x₁•x₂的值．最后求出它們的比值即可．

解答：解：①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：x=

p

2

，由

x= p 2 y2=2px

得到交點(diǎn)坐標(biāo)（

p

2

，±p），
所以x₁•x₂=

p2

4

，y₁•y₂=-p²．
②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線方程為：y=k（x-

p

2

），由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

得 y²-

2p

k

y-p²=0．
∴y₁•y₂=-p²，x₁•x₂=

y12

2p

•

y 2 2

2p

=

p2

4

．
綜上可知，x₁x₂=

p2

4

，y₁y₂=-p²．則

y1y2

x1x2

的值

-p2

p2 4

=-4，
故答案為：-4．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)、直線和拋物線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)的靈活運(yùn)用．