Question

（2010•桂林二模）已知f（x）=

1

3

ax³-2x²+cx的導函數的值域為[0，+∞），是

a

c2+4

+

c

a2+4

的最小值為（　�。�

• A．0
• B．

  1

  4

• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：先求函數的導函數f′（x）=ax²-4x+c，由導函數的值域為[0，+∞），可得a＞0，且ac=4，利用均值定理a+c≥2

ac

=4，再將所求代數式通分化簡為關于（a+c）的函數，最后設t=a+c利用換元法，結合導數求得函數的最小值

解答：解：f（x）=

1

3

ax³-2x²+cx的導數為f′（x）=ax²-4x+c
∵導函數的值域為[0，+∞），
∴

a＞0 △=16-4ac=0

解得：

a＞0 ac=4

∵

a

c2+4

+

c

a2+4

=

a3+c3 +4(a+c)

(c2+4)(a2+4)

=

a3+c3 +4(a+c)

a2c2+4(a2+c2)+16

=

(a+c)[(a+c)2-3ac+4]

16+4(a+c)2-8ac+16

=

(a+c)[(a+c)2-3ac+4]

4(a+c)2

=

(a+c)3-8(a+c)

4(a+c)2

=

a+c

4

-

2

a+c

設t=a+c≥2

ac

=4，∴t∈[4，+∞）
∴

a

c2+4

+

c

a2+4

=

t

4

-

2

t

設g（t）=

t

4

-

2

t

  t∈[4，+∞）
g′（t）=

1

4

+

2

t2

＞0，
∴g（t）在 t∈[4，+∞）為增函數
∴g（t）∈[

1

2

，+∞）
∴

a

c2+4

+

c

a2+4

的最小值為

1

2

故選C

點評：本題考察了導函數的求法，二次函數圖象和性質，均值定理的應用以及換元法求函數的值域的方法