Question

【題目】已知圓： 經(jīng)過(guò)橢圓： 的左右焦點(diǎn)，且與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，且三點(diǎn)共線，直線交橢圓于， 兩點(diǎn)，且（）.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)三角形的面積取得最大值時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓與軸的交點(diǎn)，可求得，利用三點(diǎn)共線，由是圓的直徑，從而，利用勾股定理可求得，從而由橢圓的定義可求得，于是得，橢圓方程即得；

（2）是確定的， ，說(shuō)明，于是直線斜率已知，設(shè)出其方程為，代入橢圓方程，消去得的二次方程，從而有（分別是的橫坐標(biāo)），由直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式可求得弦長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線距離公式求出到直線的距離，可計(jì)算出的面積，最后利用基本不等式可求得面積的最大值，及此時(shí)的值，得直線方程．

解析：

（1）

如圖，圓經(jīng)過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)，，所以，解得,因?yàn)?/span>， ，三點(diǎn)共線，所以為圓的直徑， 所以,因?yàn)?/span>，所以.所以,由，得．所以橢圓的方程為.

（2）由（1）得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>,所以直線的斜率為，設(shè)直線的方程為,聯(lián)立，得,設(shè)，由，得．因?yàn)?/span>

所以, 又點(diǎn)到直線的距離為，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立,所以直線的方程為或.