Question

3．已知函數(shù)f（x）=2x³-3x²+1，對于區(qū)間$[\frac{1}{2}，2]$上的任意x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值是5．

Answer 1

分析 對于區(qū)間$[\frac{1}{2}，2]$上的任意x₁，x₂求解|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，等價于對于區(qū)間$[\frac{1}{2}，2]$上的任意x，都有f（x）_max-f（x）_min的絕對值的最大值，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求最值，即可得出結(jié)論．

解答 解：對于區(qū)間$[\frac{1}{2}，2]$上的任意x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，等價于對于區(qū)間$[\frac{1}{2}，2]$上的任意x，都有f（x）_max-f（x）_min的值，
∵函數(shù)f（x）=2x³-3x²+1，∴f′（x）=6x²-6x=6x（x-1），
∵x∈$[\frac{1}{2}，2]$，∴函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞增，在[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（2）=16-12+1=5，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$$-\frac{3}{4}$+1=$\frac{1}{2}$，f（x）_min=f（1）=0
∴f（x）_max-f（x）_min=5，
∴對于區(qū)間$[\frac{1}{2}，2]$上的任意x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值是：5．
故答案為：5．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵．