Question

如圖,四棱柱的底面是平行四邊形,且,,,為的中點(diǎn),平面.

(Ⅰ)證明:平面平面；
(Ⅱ)若,試求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試求二面角的余弦值.

Answer 1

(Ⅰ)詳見(jiàn)解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

試題分析：(Ⅰ)證明面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直問(wèn)題，即某一個(gè)平面中的某條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面.然后將線(xiàn)面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題，即該直線(xiàn)與平面中的兩條相交直線(xiàn)垂直.在本題中，我們選取的是平面中的直線(xiàn)，因?yàn)橐字?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022221228592.png" style="vertical-align:middle;" />，那么只需要在平面再找一條直線(xiàn)垂直于即可.因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022220932534.png" style="vertical-align:middle;" />是平行四邊形,且,,,為的中點(diǎn)，所以可以證，從而得證；(Ⅱ)求異面直線(xiàn)所成角，一般將兩條異面直線(xiàn)平移到一個(gè)公共點(diǎn)上以便求出其夾角.這里，我們選擇將直線(xiàn)平移至點(diǎn)，所以需要取的中點(diǎn),連接，易知即所求，將其放在求出余弦值.(Ⅲ)二面角的余弦值可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系用向量來(lái)解決.其中前兩問(wèn)又可以用向量來(lái)解決.第一問(wèn)的面面垂直可以用兩個(gè)平面的法向量垂直來(lái)證明，即法向量的數(shù)量積為0，第二問(wèn)用向量的夾角公式直接解出（需注意異面直線(xiàn)角的范圍）.二面角同樣可以用兩個(gè)半平面的法向量的夾角解決，不過(guò)這里要注意所求的二面角是銳角還是鈍角，從而選擇是法向量夾角還是其補(bǔ)角為所求.
試題解析：(Ⅰ)依題意,,
所以是正三角形,
又 
所以,     2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022221010406.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,所以     3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022221696625.png" style="vertical-align:middle;" />,所以平面     4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022221649446.png" style="vertical-align:middle;" />平面,所以平面平面      5分
(Ⅱ)取的中點(diǎn),連接、,連接,則
所以是異面直線(xiàn)與所成的角      7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022221961558.png" style="vertical-align:middle;" />,,
所以,, 
所以     9分
解法2：以為原點(diǎn)，過(guò)且垂直于的直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸建立右手空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)
則，，
(Ⅰ)設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則
，取，則，從而，
同理可得平面的一個(gè)法向量為，
直接計(jì)算知，所以平面平面.
(Ⅱ)由即       
解得                                                        
, 
所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值
 
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,平面的一個(gè)法向量為 
又,設(shè)平面的法向量則得     11分
設(shè)二面角的平面角為,且為銳角
則     13分
所以二面角的余弦值為     14分