Question

設(shè)函數(shù)f(x)=e^x+sinx，g(x)=ax，F(xiàn)(x)=f(x)-g(x)。
(Ⅰ)若x=0是F(x)的極值點(diǎn)，求a的值；
(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)P(x₁，f(x₁))，Q(x₂，g(x₂))(x₁>0，x₂>0)，且PQ//x軸，求P、Q兩點(diǎn)間的最短距離；
(Ⅲ)若x≥0時(shí)，函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F(-x)的圖象上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）F(x)=e^x+sinx-ax，，
因?yàn)閤=0是F(x)的極值點(diǎn)，所以，，
又當(dāng)a=2時(shí)，若x＜0，；若 x＞0，，
∴x=0是F(x)的極小值點(diǎn)，
∴a=2符合題意。
（Ⅱ）∵a=1，且PQ∥x軸，由f(x₁)=g(x₂)得，
所以，，
令，當(dāng)x＞0時(shí)恒成立，
∴x∈[0，+∞時(shí)，h(x)的最小值為h(0)=1，
∴|PQ|_min=1。
（Ⅲ）令，
則，，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110603/201106031600227481128.gif" border=0>，當(dāng)x≥0時(shí)恒成立，
所以函數(shù)S(x)在上單調(diào)遞增，
∴S(x)≥S(0)=0當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)恒成立；
因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，恒成立；
當(dāng)a≤2時(shí)，，在[0，+∞）單調(diào)遞增，即，
故a≤2時(shí)F(x)≥F(-x)恒成立，
當(dāng)a＞2時(shí)，，
又∵在上單調(diào)遞增，
∴總存在使得在區(qū)間上，
導(dǎo)致在遞減，
而，
∴當(dāng)時(shí)，這與對恒成立不符，
∴不合題意，
綜上，a的取值范圍是。