Question

如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設(shè)弦AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N．
（Ⅰ）求證：直線MN恒過定點(diǎn)T，并求出T的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求以AB、CD為直徑的兩圓公共弦中點(diǎn)的軌跡方程，并判斷定點(diǎn)T與軌跡的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵F（1，0），不妨設(shè)AB的斜率存在且不為零，
設(shè)AB：y=k（x-1）
∴
∴，同理（3分）
∴MN過定點(diǎn)（），當(dāng)AB的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)
同樣MN過定點(diǎn)（），∴T（）． （7分）
（Ⅱ）以AB為直徑的圓M的方程為：
①（9分）
同理以CD為直徑的圓N的方程為：
②（11分）
①-②得公共弦直線方程為③
又MN直線方程④
由③、④消去R得兩圓公共弦中點(diǎn)的軌跡方程為：（15分）

∴點(diǎn)T在圓上．
分析：（Ⅰ）設(shè)AB：y=k（x-1），由題意知，，同理，所以MN過定點(diǎn)（），當(dāng)AB的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)同樣MN過定點(diǎn)（），所以T（）．
（Ⅱ）以AB為直徑的圓M的方程為：同理以CD為直徑的圓N的方程為：
，由此可以判斷定點(diǎn)T與軌跡的位置關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解題．