Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB為直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、F分別為PC、CD的中點(diǎn).

（Ⅰ）試證：CD平面BEF;

（Ⅱ）設(shè),且二面角E-BD-C的平面角大于,求的取值范圍.

Answer 1

解法一：

（I）證：由已知且為直角，故是矩形，從而，又底面，，故由三垂線定理知，在中，、分別為、的中點(diǎn)，故，從而，由此得面.

（II）連接AC交BF于G，易知G為AC的中點(diǎn)，連接EG，則在中易知EGPA，又因PA底面ABCD，故EG底面ABCD，在底面ABCD中，過G作GHBD，垂足為H，連接EH，由三垂線定理知EHBD，從而為二面角E-BD-C的平面角。設(shè)，則在中，有

     

圖1

以下計(jì)算，考慮底面的平面圖（如圖）。連接，

因

故

在中，因得而從而得

因此

由知是銳角，故要使，必須

解之得，的取值范圍為

圖2

解法二：

（I）如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為軸建立，空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則易知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

從而

故

設(shè)則而為中點(diǎn)，故

從而

故

由此得.

（II）設(shè)在平面上的射影為G，過G作GH⊥BD垂足為H，由三垂線定理知GH⊥BD，從而∠EHG為二面角E-BD-C的平面角。

由得，

設(shè)，則，，

由得，即

                  ①

又因，且的方向相同，故，即

                  ②

由①②解得，從而，

 

由知是銳角，由，得，即故的取值范圍為