Question

3．在四棱錐中P-ABCD，底面ABCD是正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\sqrt{2}$，PA⊥PD，E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點．
（Ⅰ）求證：EF||平面PAD；
（Ⅱ）求三棱錐P-CDF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，AC∩BD=F，EF∥PA，由此能證明EF∥平面PAD．
（Ⅱ）法一：取AD中點O，連接OP，OF，推導出OP⊥平面ABCD，三棱錐P-CDF的體積${V}_{P-CDF}=\frac{1}{3}{S}_{△CDF}•OP$．
法二：三棱錐P-CDF的體積V_P-CDF=V_F-PCD，由此能求出結果．

解答 證明：（Ⅰ）連接AC，AC∩BD=F，
在△PAC中，EF∥PA．…（3分）
又PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．…（6分）
解：（Ⅱ）解法一：取AD中點O，連接OP，OF，
∵PA=PD，∴OP⊥AD．
又側面PAD⊥底面ABCD，且側面PAD∩底面ABCD=AD，
∴OP⊥平面ABCD．…（9分）
∴三棱錐P-CDF的體積${V}_{P-CDF}=\frac{1}{3}{S}_{△CDF}•OP$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1$=$\frac{1}{3}$．…（12分）
解法二：∵側面PAD⊥底面ABCD，
且側面PAD∩底面ABCD=AD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD．
∴CD⊥PA，CD⊥PD．
又PA⊥PD，且CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，故EF⊥平面PCD，…（9分）
∵PD=$\sqrt{2}$，EF=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴三棱錐P-CDF的體積：
V_P-CDF=V_F-PCD=$\frac{1}{3}{S}_{△PCD}•EF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結合思想、轉化化歸思想，考查數(shù)據(jù)處理能力和運用意識，是中檔題．