Question

已知函數(shù)f(x)＝xln x.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)設(shè)A(x₁，f(x₁))，B(x₂，f(x₂))，且x₁≠x₂，證明：

Answer 1

解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，

f′(x)＝ln x＋x·＝1＋ln x.

令f′(x)>0，則ln x>－1＝ln ，∴x>；令f′(x)<0，則ln x<－1＝ln ，∴0<x<，

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，

f(x)_極小值＝f＝ln ＝－，f(x)無極大值．

(2)不防設(shè)x₁<x₂，

＝ln ＋

＝ln －，

令＝x(x>0)，h(x)＝ln(1＋x)－x，

則h′(x)＝，h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，

∴h(x)<h(0)＝0，

即ln (1＋x)<x，即g′(t)＝恒成立，

∴g(t)在(1，＋∞)上是減函數(shù)，∴g(t)<g(1)＝0，