【題目】有一橢圓形溜冰場，長軸長100米，短軸長為60米，現(xiàn)要在這溜冰場上劃定一個(gè)各頂點(diǎn)都在溜冰場邊界上的矩形區(qū)域，且使這個(gè)區(qū)域的面積最大，應(yīng)把這個(gè)矩形的頂點(diǎn)定位在何處？并求出此矩形的周長.
【答案】在溜冰場橢圓的短軸兩側(cè)分別畫一條與短軸平行且與短軸相距
的直線，這兩條直線與橢圓的交點(diǎn)就是所劃定的矩形區(qū)域的頂點(diǎn)，矩形的周長為
.
【解析】
分別以橢圓的長軸.短軸所在的直線為
軸和
軸建立坐標(biāo)系，根據(jù)長軸長和短軸長求得橢圓方程.設(shè)矩形
的頂點(diǎn)
，且
在第一象限，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，求得
的關(guān)系式.求得矩形的面積
，利用配方法求得
的最大值，也即求得矩形的面積
的最大值，并求得此時(shí)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得此時(shí)矩形的周長，以及矩形四個(gè)頂點(diǎn)的位置.
分別以橢圓的長軸.短軸所在的直線為軸和軸建立坐標(biāo)系，設(shè)矩形的各個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，由題意
，
，則橢圓方程為
，
設(shè)頂點(diǎn)
，
，
，則
，
所以
，
矩形的面積，
又因?yàn)?/span>
=
，
=
.
因此當(dāng)
時(shí)，達(dá)到最大值，同時(shí)也達(dá)到最大值，
此時(shí)
，
，矩形的周長為
，
所以在溜冰場橢圓的短軸兩側(cè)分別畫一條與短軸平行且與短軸相距的直線，這兩條直線與橢圓的交點(diǎn)就是所劃定的矩形區(qū)域的頂點(diǎn)，這個(gè)矩形的周長為.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
，若數(shù)列
滿足：對所有
，
，且當(dāng)
時(shí)，
，則稱為“
數(shù)列”，設(shè)
R，函數(shù)
，數(shù)列
滿足
，
（
）.
（1）若
，而是
數(shù)列，求
的值；
（2）設(shè)
，證明：存在，使得是
數(shù)列，但對任意，都不是
數(shù)列；
（3）設(shè)
，證明：對任意，都存在，使得是數(shù)列.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某電子科技公司由于產(chǎn)品采用最新技術(shù)，銷售額不斷增長，最近
個(gè)季度的銷售額數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表（其中
表示
年第一季度，以此類推）：
季度 |
|
|
|
|
|
季度編號(hào)x |
|
|
|
|
|
銷售額y（百萬元） |
|
|
|
|
|
（1）公司市場部從中任選
個(gè)季度的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，求這個(gè)季度的銷售額都超過
千萬元的概率；
（2）求
關(guān)于
的線性回歸方程，并預(yù)測該公司
的銷售額.
附：線性回歸方程：
其中
，
參考數(shù)據(jù)：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，已知
平面
，
為等邊三角形，
，
，
與平面
所成角的正切值為
.
(Ⅰ)證明：
平面
；
(Ⅱ)若
是
的中點(diǎn)，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
的離心率
，且過點(diǎn)
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）如圖，過橢圓
的右焦點(diǎn)
作兩條相互垂直的直線
交橢圓分別于
，且滿足
， 
，求
面積的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)
，它的短軸長為
，一個(gè)焦點(diǎn)為
，一個(gè)定點(diǎn)
，且
，過點(diǎn)
的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)
.
.
（1）求橢圓的方程及離心率.
（2）如果以
為直徑的圓過原點(diǎn)，求直線
的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，已知圓
經(jīng)過
， 
兩點(diǎn)，且圓心在直線
上．
（1）求圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過圓
內(nèi)一點(diǎn)
作兩條相互垂直的弦
，當(dāng)
時(shí)，求四邊形
的面積．
（3）設(shè)直線
與圓
相交于
兩點(diǎn)， 
，且
的面積為
，求直線
的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了調(diào)查一款電視機(jī)的使用時(shí)間，研究人員對該款電視機(jī)進(jìn)行了相應(yīng)的測試，將得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示：
并對不同年齡層的市民對這款電視機(jī)的購買意愿作出調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：
愿意購買這款電視機(jī) | 不愿意購買這款電視機(jī) | 總計(jì) | |
40歲以上 | 800 | 1000 | |
40歲以下 | 600 | ||
總計(jì) | 1200 |
（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，試估計(jì)該款電視機(jī)的平均使用時(shí)間；
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“愿意購買該款電視機(jī)”與“市民的年齡”有關(guān)；
（3）若按照電視機(jī)的使用時(shí)間進(jìn)行分層抽樣，從使用時(shí)間在
和
的電視機(jī)中抽取5臺(tái)，再從這5臺(tái)中隨機(jī)抽取2臺(tái)進(jìn)行配件檢測，求被抽取的2臺(tái)電視機(jī)的使用時(shí)間都在內(nèi)的概率．
附： | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知正方體
的棱長為
，點(diǎn)E，F，G分別為棱AB，
，
的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是___________.
①過E，F，G三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為正六邊形；
②
平面EFG；
③
平面
；
④異面直線EF與
所成角的正切值為
；
⑤四面體
的體積等于
.
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