Question

【題目】已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直線(xiàn)l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）
（1）證明：直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)，并判斷直線(xiàn)l與圓的位置關(guān)系；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，求直線(xiàn)l的方程及最短弦的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】解：（1）直線(xiàn)l的方程：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，
整理得：（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，
∵m∈R，∴，解得x=3，y=1，
即直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)D（3，1）
把D點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程：（3﹣1）2+（1﹣2）2＜25，
所以點(diǎn)D在圓內(nèi)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)圓C內(nèi)的一點(diǎn)D，
故直線(xiàn)l與圓C相交．…（6分）
（2）當(dāng)直線(xiàn)l垂直于CD時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)最短
由C（1，2），D（3，1）∴，
所以直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線(xiàn)l的斜率為2，
此時(shí)直線(xiàn)l的方程為y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0
又|CD|=，所以，最短弦長(zhǎng)為2
所以，直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線(xiàn)l的方程為2x﹣y﹣5=0，
最短弦長(zhǎng)為2
【解析】（1）先化簡(jiǎn)直線(xiàn)方程：將m分離出來(lái)，列出方程組求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷出定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可得到直線(xiàn)l與圓的位置關(guān)系；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l垂直于CD時(shí)被截得的弦長(zhǎng)最短，求出CD的斜率，由直線(xiàn)垂直的條件求出直線(xiàn)l的斜率，結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線(xiàn)l的方程，由弦長(zhǎng)公式求出最短弦的長(zhǎng)度．