Question

（1）（理）若c=2，a，b是從{1，2，3，4，5，6}中任取的兩個數(shù)（a，b可以相等），求a，b，c能構成三角形的概率；
（2）（理）若a，b是從（0，6）中任取的兩個數(shù)（a，b可以相等），求構成以a，b為直角邊，且c＜4

3

的直角三角形的概率．

Answer 1

分析：（1）把（a，b）看成一個基本事件，則基本事件總數(shù)有36個，滿足條件滿足

a+b＞2 |a-b|＜1

或

a+b＞2 |a-b|=0

的基本事件有15個，這15個都能構成三角形，最后利用等可能事件的概率公式得到能構成三角形的概率．
（2）a，b，c能構成滿足題意的直角三角形的充要條件是 0＜a²+b²＜48，0＜a＜6，0＜b＜6，在坐標系aob內畫出滿足以上條件的區(qū)域，如圖所示，根據(jù)幾何概型的計算方法即可求得結果．

解答：解：（1）（理）滿足不等式組

a+b＞2 |a-b|＜2

，
即滿足

a+b＞2 |a-b|=1

或

a+b＞2 |a-b|=0

的有：（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）共15個．
所以a，b，c能構成三角形的概率為

15

36

=

5

12

；
（2）（理）（a，b）可以看成平面中的點．
試驗的全部結果所構成的區(qū)域為U={（a，b）|0＜a＜6，0＜b＜6}，
這是一個正方形區(qū)域，面積為S_U=6×6=36．
記“a，b，c能構成三角形”為事件A，
則構成事件A的區(qū)域A={（a，b）|0＜a²+b²＜48，0＜a＜6，0＜b＜6}，
它表示的區(qū)域為圖中陰影部分，其中OA=6，OB=4

3

，∴∠AOB=30，
同樣，∠DOC=30°∴∠BOC=30°，
∴A的面積
=2S_△OAB+S_扇形OBC
=2×

1

2

×OA×AB+

30

360

×OB2×π
=6×2

3

+

1

12

×(4

3

)2×π
=12

3

+4π．
由幾何概型，
所以P（A）=

4π+12 3

36

=

π+3 3

9

．

點評：本題考查古典概型和幾何概型的概率．幾何概型估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=

N(A)

N

求解．屬中檔題．