Question

（14分）如圖，已知平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

（1）證明：C₁C⊥BD；

（2）假定CD=2，CC₁=，記面C₁BD為α，面CBD為β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

（3）當(dāng)的值為多少時，能使A₁C⊥平面C₁BD？請給出證明.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）cosC₁OC=；（3）x=1.

【解析】

試題分析：

（1）證明：設(shè)=，=，=，則| |=||，∵=－，

∴·=（－）·=·－·=||·||cos60°－||·||cos60°=0，

∴C₁C⊥BD.

（2）解：連AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，連OC₁，則∠C₁OC為二面角α—BD—β的平面角.

∵（+），（+）－

∴·（+）·［（+）－］

=（²+2·+²）－·－·

=（4+2·2·2cos60°+4）－·2·cos60°－·2·cos60°=.

則||=，||=，∴cosC₁OC=

（3）解：設(shè)=x，CD=2， 則CC₁=.

∵BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁C

∴只須求滿足：=0即可.

設(shè)=，=，=，

∵=++，=－，

∴=（++）（－）=²+·－·－²=－6，

令6－=0，得x=1或x=－（舍去）.

考點：本題主要考查向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積、模的概念及計算、夾角公式的應(yīng)用，考查了考生的空間想象能力、邏輯推理能力。

點評：本題蘊涵著轉(zhuǎn)化思想，即用向量這個工具來研究空間垂直關(guān)系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等問題.